Урок 18
§11.2. Знакомство с теорией игр

11.2. Знакомство с теорией игр (Пример 2 - продолжение)

Найдём на ней такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Здесь речь идёт о проигрышной позиции для первого игрока. Следовательно, искать значение S надо среди позиций, не отмеченных как выигрышные.

Пусть S = 12. Каким бы ни был ход Пети, им он переведёт своего соперника в выигрышную позицию: 13(12 + 1), 14 (12+ 2) или 36 (12 х 3). В последнем случае Ваня имеет возможность выиграть своим первым же ходом (36 х 3), а в первых двух случаях он должен перевести соперника в проигрышную позицию S = 15, что обеспечит ему выигрыш вторым ходом. Следовательно, позиция S = 12 — проигрышная для Пети. На дереве решений наши рассуждения могут быть представлены так, как показано на рисунке 3.21.

Рис. 3.21. Позиция 12 — проигрышная для Пети

Если вместо S = 12 взять S = 11, то приведёт ли любой ход Пети Ваню к выигрышу? Подойдёт ли для этой цели S = 10? Обоснуйте свой ответ.

Примеры, которые мы рассмотрели, имеют самое непосредственное отношение к теории игр — разделу современной математики, связанному с решением многих задач экономики, социологии, политологии, биологии, искусственного интеллекта и ряда других областей, где необходимо изучение поведения человека и животных в различных ситуациях.

Игра выступает в качестве математической модели некоторой ситуации и понимается как процесс, в котором участвуют две и более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов. При этом игра характеризуется такими признаками, как:

1) присутствие нескольких игроков;
2) неопределённость поведения игроков, связанная с имеющимися у каждого из них несколькими вариантами действий;
3) различие (несовпадение) интересов игроков;
4) взаимосвязанность поведения игроков (результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех игроков);
5) наличие правил поведения, известных всем игрокам.

Игра может быть представлена в виде дерева, каждая вершина которого соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии.

Примеры, которые мы рассмотрели, относятся к так называемым играм с полной информацией. В играх с полной информацией участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры.

Тем, кто хочет получить более полное представление о теории игр, рекомендуем познакомиться с книгой Александра Шеня «Игры и стратегии с точки зрения математики». Электронная версия книги является свободно распространяемой и доступна по адресу http://www.mcnmo.ru/free-books/shen/shen-games.pdf.

Cкачать материалы урока