Урок 27
Двоичная система счисления
Представление чисел в памяти компьютера

История чисел и систем счисления

Изучаемые вопросы:

- Десятичная и двоичная системы счисления.
- Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.
- Перевод десятичных чисел в двоичную систему.
- Двоичная арифметика.
- Непозиционные системы древности.
- Позиционные системы.

Содержание урока

История чисел и систем счисления. Непозиционные системы древности

История чисел и систем счисления. Позиционные системы

История чисел и систем счисления. Вопросы и задания

Перевод чисел и двоичная арифметика

Перевод чисел и двоичная арифметика. Арифметика двоичных чисел

Перевод чисел и двоичная арифметика. Вопросы и задания

Позиционные системы

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в Древнем Вавилоне.

В позиционных системах счисления количественное значение, обозначаемое цифрой в записи числа, зависит от позиции цифры в числе.

Основание позиционной системы счисления равно количеству используемых в системе цифр.

   Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Хотя десятичную систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в XII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь. Этим и объясняется название «арабские цифры». Широкое распространение в науке и в обиходе десятичная позиционная система получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать сколь угодно большие числа. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.

С позиционной десятичной системой счисления вы знакомы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Что означает свойство позиционности системы счисления, легко понять на примере любого многозначного десятичного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные значения.

333 = 3 • 100 + 3 • 10 + 3.

Еще пример:

32 478 = 3 • 10 ООО + 2 • 1000 + 4 • 100 + 7 • 10 + 8 =
= 3 • 10⁴ + 2 • 10³ + 4 • 10² + 7 • 10¹ + 8 • 10⁰.

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить, как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 • 10¹ + 6 • 10⁰+ 3 • 10^-1 + 8 • 10^-2 + 7 • 10^-3.

Очевидно, что число «десять» — не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н. Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n ≤ 10 используют n первых арабских цифр, а при n ≥ 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем.

Основание	Система	Алфавит
n=2	Двоичная	0 1
n=3	Троичная	0 1 2
n=8	Восьмиричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n=16	Шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D  E F

Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу:

101101₂, 3671₈, 3B8F₁₆.

А как строится ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления? Происходит это по тому же принципу, что и в десятичной системе. Сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные и т. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе – 9. Затем следуют двузначные – 10, 11, 12, ... Самое большое двузначное число — 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.

Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел выглядит так:
1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34,
40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, ..., 444, 1000, ...

Видно, что здесь число цифр «нарастает» быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел: