Урок 10
§14. Математическое моделирование
Содержание урока
Постановка задачи
Разработка математической модели
Построение компьютерной модели
Практическая работа № 10 «Полёт шарика»
Практическая работа № 11 «Полёт шарика-2»
Постановка задачи
Ключевые слова:
• математическая модель • хорошо поставленные задачи • существенные данные • тестирование модели • компьютерная модель • эксперимент • анализ результатов моделирования
Для того чтобы исследовать модель с помощью компьютера, нужно записать её на каком-то формальном языке. Условия многих задач точнее всего записываются с помощью языка математики — в виде формул. Такие модели называются математическими.
Когда формулы написаны, для исследования модели с помощью компьютера нужно написать программу — составить компьютерную модель. В этом параграфе мы на примерах рассмотрим основные этапы разработки и исследования математических моделей.
Этап постановки задачи — самый важный при моделировании. Если здесь допущена ошибка, то фактически решается совсем не та задача, которую нужно решить, и после завершения моделирования всё придётся начать заново.
Для того чтобы задачу можно было решить, она должна быть хорошо поставлена (корректна). Это значит, что:
• заданы все связи между исходными данными и результатом;
• известны все исходные данные;
• решение существует;
• решение единственно.
К сожалению, в реальных задачах бывает сложно строго доказать существование и единственность решения; более того, задача может иметь множество решений. В таких случаях формулировку задачи можно уточнить, например, так:
• найти любое решение, если оно существует;
• найти все решения в некоторой области (например, все решения уравнения на отрезке [0,1]);
• найти всё множество решений (например, для уравнения sin х = 1).
Приведём примеры плохо поставленных (некорректных) задач.
Задача 1. Уроки в школе начинаются в 8-30. В 10-00 к школе подъехал красный автомобиль. Определите, когда Шурик выйдет играть в футбол.
Задача 2. Мальчик Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Через какое время мяч впервые ударится о земную поверхность?
Задача 3. Решите уравнение sinx = 4.
Задача 4. Найдите функцию, график которой проходит через точки (0, 0) и (1, 1).
Для каждой из этих задач определите, почему их нельзя считать хорошо поставленными.
Что делать, если полученная задача плохо поставлена? Решить её нельзя, поэтому остаётся уточнять условия и исходные данные. Если и это невозможно, нужно вводить допущения - упрощающие предположения, которые позволят сделать задачу хорошо поставленной.
Все дальнейшие рассуждения мы будем проводить для задачи 2.
Она плохо поставлена, потому что неизвестно, из какой точки и под каким углом брошен мяч. Дополним условие, чтобы сделать задачу корректной, например, так: Вася бросает мяч вертикально вверх. В момент броска мяч находится на высоте 1,5 м.
Всегда ли существует решение задачи 2? Да, всегда. По закону всемирного тяготения мяч притягивается к земной поверхности и когда-нибудь упадёт на поверхность.
Единственно ли решение? Да, в этой задаче решение единственно.
Следующая страница 
Разработка математической модели
Cкачать материалы урока
