10 класс
§ 64. Потенциал поля различной конфигурации зарядов
Принцип суперпозиции для потенциала.
Для потенциала можно сформулировать принцип суперпозиции электрических полей (см. § 59 "Электрическое поле. Напряжённость электрического поля"). Известно, что любое заряженное тело (или несколько тел) можно мысленно разделить на столь малые элементы, что каждый из них будет представлять собой точечный заряд. Тогда принцип суперпозиции для потенциала можно сформулировать следующим образом.
Потенциал в произвольной точке определяется как алгебраическая сумма потенциалов φ1, φ2, φ3, ..., φn, создаваемых отдельными точечными зарядами.
Для того чтобы определить потенциал поля произвольной системы взаимодействующих зарядов, необходимо знать, как вычисляются потенциалы той или иной конфигурации зарядов. В силу математических сложностей ряд выражений для потенциала поля приведём без вывода.
Потенциал поля точечного заряда.
Потенциальная энергия заряда q0, находящегося в электростатическом поле точечного заряда q, равна
Отсюда в соответствии с определением потенциала 
потенциал точечного заряда равен:
В этом выражении потенциал электростатического поля в точке, удалённой на бесконечно большое расстояние от заряда (r → ∞), выбран нулевым, поэтому при q > 0 φ > 0, а при q < 0 φ < 0.
Для случая положительного точечного заряда график зависимости φ(r) имеет вид, показанный на рисунке 9.40.
Потенциал поля равномерно заряженной сферы.
Формула для потенциала поля точечного заряда справедлива также и для потенциала поля равномерно заряженной сферы (или равномерно заряженного шара) на расстояниях, больших или равных её радиусу. Это связано с тем, что поле сферы (или шара) вне сферы и на её поверхности совпадает с полем точечного заряда, помещённого в центре сферы.
Внутри заряженной сферы электростатического поля нет. Это означает, что для любой точки внутри сферы потенциал такой же, как на её поверхности. Действительно, при перемещении пробного заряда из бесконечности до поверхности сферы мы совершаем определённую работу, а при перемещении заряда внутри сферы, где поля нет, работа не совершается.
Итак, при r ≥ R потенциал поля 
, а при R < r потенциал поля 
в любой точке внутри сферы. Для случая положительно заряженной сферы график зависимости φ(r) имеет вид, показанный на рисунке 9.41.
Отметим, что потенциал заряженной сферы, так же как и других рассматриваемых заряженных объектов, определяется с точностью до постоянной С. Приведённые выражения и рисунок 9.41 соответствуют случаю, когда потенциал считается равным нулю на бесконечном удалении от центра сферы.
Обратите внимание, что график зависимости потенциала от расстояния до центра сферы (см. рис. 9.41) является непрерывным и не испытывает скачков и разрывов. Причина этого состоит в том, что потенциал — энергетическая характеристика поля, а электрическое поле в соответствии с законом сохранения энергии не может иметь в двух очень близких точках два различных отличающихся значения энергии.
Потенциал поля равномерно заряженной пластины.
Рассмотрим электростатическое поле, созданное бесконечной равномерно заряженной пластиной. Пусть поверхностная плотность заряда на пластине 
, а модуль напряжённости рассматриваемого поля 
(см. § 61 "Напряжённость поля различной конфигурации зарядов").
Направим ось X параллельно силовым линиям, совместив начало координат с пластиной, и будем перемещать пробный заряд вдоль оси X из точки поля с координатой xl в точку поля с координатой x2 (рис. 9.42).
Тогда работа А, которую совершат силы электростатического поля по перемещению пробного заряда, равна
Поскольку 
По определению работы электростатического поля (см. § 62 "Работа кулоновских сил. Энергия взаимодействия точечных зарядов") можно записать, что
где φ2 — потенциал точки, в которую переместили пробный заряд; φ1 — потенциал точки, из которой начали перемещать заряд.
В результате преобразований получим соотношение:
Выберем нулевой уровень потенциала: пусть потенциал равен нулю на поверхности пластины. Тогда точка с координатой х имеет потенциал
Для положительно заряженной пластины получим
Графики зависимостей Ex(x) и φ(x) для этого случая приведены на рисунке 9.43.
Для отрицательно заряженной пластины получим
Вопросы:
1. Как формулируется принцип суперпозиции для потенциала?
2. Как можно определить потенциал поля:
а) точечного заряда;
б) равномерно заряженной сферы;
в) равномерно заряженной пластины?
3. Проанализируйте графики, приведённые на рисунке 9.43.
Вопросы для обсуждения:
Два шара — большой и маленький — равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда, равной σ. Будут ли одинаковы потенциалы данных шаров?
Пример решения задачи
В некоторых двух точках электростатического поля, созданного точечным зарядом, модули напряжённостей отличаются в 4 раза. Во сколько раз отличаются потенциалы поля в этих точках?
Ответ: потенциалы поля в этих точках отличаются в 2 раза
Упражнения:
1. Потенциал электростатического поля в центре равномерно заряженной сферы равен 120 В, а потенциал поля на расстоянии 36 см от центра сферы — 20 В. Определите радиус сферы.
2. Электрическое поле образовано точечным зарядом, модуль которого равен 1,5 нКл. На каком расстоянии друг от друга расположены в вакууме две эквипотенциальные поверхности с потенциалами, равными 45 В и 30 В?
3. Электрическое поле в глицерине образовано точечным зарядом, модуль которого равен 9 нКл. Определите разность потенциалов двух точек, удалённых от заряда на 3 см и 12 см.
4. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд 80 нКл из точки с потенциалом -8В в точку с потенциалом 24 В? Какую работу совершат при этом силы электростатического поля?
